有些隨機過程不研究「位置」，而研究「事件數量」：一小時來了多少顧客、一分鐘伺服器收到多少請求、一段時間內發生多少次放射性衰變。這類過程最經典的模型就是泊松過程（Poisson process），機率與統計 2已經介紹過泊松分佈本身，本文把它放進「隨時間持續發生」的過程視角。

1. 從計數過程到泊松過程

1.1 定義

定義 N(t)N(t) 為從時間 0 到 tt 為止發生的事件總數，{N(t)}t≥0\{N(t)\}_{t\ge0} 就是一個計數過程（counting process），一次 sample path 呈階梯狀：事件發生時計數增加 1，沒有事件時保持不變。強度為 λ>0\lambda>0 的齊次泊松過程要求：N(0)=0N(0)=0、不重疊時間區間上的增量互相獨立、長度為 tt 的區間內事件數服從 N(t)∼Poisson⁡(λt)N(t)\sim\operatorname{Poisson}(\lambda t)，其中 λ\lambda 是單位時間內平均發生的事件數。

1.2 泊松分佈描述一個時刻，泊松過程描述整條軌跡

泊松分佈描述「一個固定區間裡發生多少次事件」，例如 N(10)N(10) 是一個隨機變數；泊松過程描述的則是「累計事件數 N(t)N(t) 隨時間怎麼變化」，也就是整條隨機過程 {N(t)}t≥0\{N(t)\}_{t\ge0}。以 λ=4\lambda=4（每分鐘平均 4 個事件）為例，兩分鐘內恰好發生 10 次事件的機率是 P(N(2)=10)=e−8810/10!≈0.0993P(N(2)=10)=e^{-8}8^{10}/10!\approx0.0993——這個計算只用到 N(2)∼Poisson⁡(8)N(2)\sim\operatorname{Poisson}(8) 這一個時間點的分佈；泊松過程要問的是這樣的計數如何在所有時刻上一起演化，而不只是單一時刻的分佈長什麼樣。

2. 增量結構：獨立且平穩

若區間 [0,1][0,1] 和 [2,3][2,3] 不重疊，標準泊松過程假設兩個區間裡的事件數 N(1)−N(0)N(1)-N(0) 與 N(3)−N(2)N(3)-N(2) 互相獨立，這叫獨立增量（independent increments）。泊松過程同時具有平穩增量：對任意 s,t≥0s,t\ge0，N(s+t)−N(s)∼Poisson⁡(λt)N(s+t)-N(s)\sim\operatorname{Poisson}(\lambda t) 只取決於區間長度 tt，不取決於區間從什麼時候開始——同樣長度的一小時，不論發生在早上還是晚上，在齊次模型裡都有相同的統計規律。

3. 到達間隔與無記憶性

3.1 到達間隔服從指數分佈

設 T1T_1 為第一次事件發生前的等待時間，事件在 tt 之前還沒發生的機率是 P(T1>t)=P(N(t)=0)=e−λtP(T_1>t)=P(N(t)=0)=e^{-\lambda t}，因此 T1∼Exponential⁡(λ)T_1\sim\operatorname{Exponential}(\lambda)，而且相鄰到達事件之間的等待時間也是 i.i.d. 指數分佈。仍以 λ=4\lambda=4 為例，等待超過 0.5 分鐘才發生下一個事件的機率是 P(T1>0.5)=e−4×0.5=e−2≈0.1353P(T_1>0.5)=e^{-4\times0.5}=e^{-2}\approx0.1353。泊松過程因此有兩個等價視角：看固定時間內發生多少次，是泊松分佈；看下一次事件要等多久，是指數分佈——兩者描述的是同一個隨機機制，只是切入的角度不同。

3.2 無記憶性

指數分佈具有無記憶性：P(T>s+t∣T>s)=P(T>t)P(T>s+t\mid T>s)=P(T>t)，已經等待了多久，不會改變還需要繼續等待多久的分佈。這與泊松過程的 Markov 性質密切相關：知道「目前為止還沒有事件發生」這件事本身，不會透露任何關於「還要多久」的額外資訊。

4. 過程的合併、拆分與推廣

4.1 Superposition 與 thinning：具體算一次

如果兩個獨立泊松過程的速率分別為 λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2，把它們的事件合併以後仍然是泊松過程，速率為 λ1+λ2\lambda_1+\lambda_2，這叫 superposition（疊加）：例如兩類獨立使用者請求合併成總請求流，速率 3+5=83+5=8（每分鐘）。反過來，如果一個速率為 λ\lambda 的泊松過程中，每個事件獨立地以機率 pp 被標記為 A 類，A 類事件本身形成一個新的泊松過程，速率為 pλp\lambda，剩餘事件的速率為 (1−p)λ(1-p)\lambda，這叫 thinning（稀疏化）：例如原始請求流速率 10（每分鐘），若 30% 的請求來自行動裝置，行動裝置請求本身是速率 0.3×10=30.3\times10=3 的泊松過程，其餘裝置請求則是速率 0.7×10=70.7\times10=7 的泊松過程，兩者仍然互相獨立。

4.2 非齊次泊松過程

現實中的事件速率往往隨時間變化，例如餐廳中午和凌晨的客流顯然不同。這時可以讓強度變成 λ(t)\lambda(t)，得到非齊次泊松過程，區間 [a,b][a,b] 的平均事件數變成 ∫abλ(t) dt\int_a^b\lambda(t)\,dt，其餘假設（獨立增量、給定平均事件數下服從泊松分佈）維持不變，只是不再有平穩增量——不同時段的統計規律可以不一樣。

5. 模型限制與小結

泊松過程假設事件之間沒有長程依賴、到達速率結構簡單、inter-arrival time 恰好是指數分佈，這三個假設合在一起，等於假設「事件發生的傾向不會因為最近發生過什麼而改變」。很多現實系統並不滿足這個條件：使用者訪問常常爆發式聚集（一個事件觸發一連串相關事件，違反獨立增量）、機器故障壽命通常不是指數分佈（磨損效應讓故障機率隨使用時間增加，違反無記憶性）。放寬「到達間隔必須是指數分佈」這個限制、保留「到達間隔獨立同分佈」的核心結構，就自然引出更一般的 renewal process。

泊松過程是最基礎的隨機到達模型：固定平均速率、獨立增量、計數服從泊松分佈，把泊松分佈、指數等待時間、Markov 性質和計數過程串在了一起，也是理解更一般到達模型的起點。