随机过程

從隨機變數、隨機向量和樣本路徑出發，建立隨機過程與隨機場的基本直覺。

從邊緣分佈走向聯合分佈，理解平均值、共變異數、自相關以及隨機過程真正研究的依賴結構。

理解隨機過程中的嚴格平穩、弱平穩和平穩增量，以及統計規律隨時間保持不變的真正含義。

從樣本平均出發，理解大數定律如何產生宏觀穩定性，以及中心極限定理如何描述剩餘隨機波動。

解釋馬爾可夫性質的條件獨立含義，以及狀態設計為什麼決定一個過程能否被視為馬爾可夫過程。

從轉移矩陣與平穩分佈出發，理解馬爾可夫鏈的不可約性、週期性和長期收斂行為。

從一維簡單隨機遊走出發，理解隨機增量如何累積，以及擴散、復現性與布朗運動之間的聯繫。

區分 hitting time、first passage time 與 stopping time，理解隨機過程何時第一次發生目標事件。

從計數過程、獨立增量和指數等待時間出發，理解泊松過程描述隨機事件到達的方式。

將泊松過程推廣到任意非負到達間隔，理解更新計數、更新函數和長期更新率。

從縮放後的隨機遊走出發，理解布朗運動的獨立增量、連續路徑和高斯結構。

通過有限維高斯分佈、平均值函數和共變異數核，理解高斯過程如何描述函數上的機率分佈。

從濾過和條件期望出發，理解鞅的公平遊戲直覺、停止思想及其在機率論中的作用。

比較 ensemble average 與 time average，理解何時一條足夠長的樣本路徑能夠代表整體機率分佈。

從確定性微分方程走向含譟動力系統，理解 drift、diffusion、Itô 積分與隨機微分方程。