隨機過程理論中有兩個完全不同的觀察方向：一種是同時想像很多個平行系統，在固定時間觀察它們的分佈；另一種是只觀察一個系統，但讓它執行很長時間。這兩種平均什麼時候會得到同一個結果？這就是 ergodicity（遍歷性） 想回答的問題。
1. 總體平均與時間平均
1.1 Ensemble average
假設有很多個相互獨立的系統，在同一個時間點 觀察 ，這些系統之間的平均可以逼近期望 ，這種跨不同 realization 的平均叫 ensemble average。
1.2 Time average：核心問題
如果只有一個系統，但觀察很長時間，可以計算 ，這叫 time average。核心問題是：time average 是否會趨近 ensemble average？如果在適當意義下成立，這個過程就具有遍歷性。
2. 為什麼這是個深問題：一個非遍歷的具體例子
假設一個系統一開始各以 的機率隨機選擇進入 A 或 B 兩個區域，然後永遠留在那裡：進入 A 則長期值恆為 0，進入 B 則長期值恆為 10。從總體上看，，ensemble across 不同系統的變異數是 ，標準差是 5——如果只看 ensemble 統計量，會以為典型值是「 上下波動 」。但任何一條 sample path 的長期平均只可能恰好是 0 或恰好是 10，永遠不會接近 5，而且單條路徑內部的時間平均變異數是 0（一旦決定了進入 A 還是 B，之後就不再有任何隨機性）。這正是遍歷性失效的核心後果：只觀察一條再長的路徑，也完全無法推斷出真實的 ensemble 變異數是 25，因為單條路徑從一開始就被鎖定在兩個極端之一，這個系統就是典型的非遍歷結構。
3. 平穩性與 Markov chain 中的遍歷性
3.1 平穩性不等於遍歷性
平穩性說的是「機率規律不隨時間平移改變」，遍歷性說的是「一條足夠長的軌跡能不能探索整個統計結構」，一個過程可以平穩但不遍歷——第 2 節的例子只要略加調整（例如讓 A、B 兩個常數值本身不隨時間改變分佈）就同時是平穩且非遍歷的。不要把「長期統計規律穩定」和「單條軌跡能夠代表總體」混為一談。
3.2 Markov chain 中的遍歷性：具體算一次
對於很多有限狀態 Markov chain，如果不可約、非週期並具有平穩分佈 ，長期時間比例會收斂到平穩分佈：，一條長軌跡在狀態 上停留的時間比例，會接近平穩分佈中的機率 ，這是典型的 ergodic theorem。延續隨機過程 6裡解出的平穩分佈 ：如果實際模擬這條鏈 步，狀態 B 出現的次數應該接近 次，狀態 C 出現的次數應該接近 次——不需要平行跑很多條鏈取 ensemble average，一條夠長的軌跡本身就足以估計出平穩分佈，這正是這個 Markov chain 具有遍歷性的直接體現。
4. 遍歷定理、Mixing 與非遍歷系統
4.1 Birkhoff 遍歷定理與 mixing
更一般的遍歷定理告訴我們，在適當條件下 可以收斂到 ，意味著理論上的 ensemble expectation 可以透過一條長時間序列估計，這對實際資料分析極其重要，因為現實中往往只有「一個世界的一條歷史」。Mixing 是比遍歷性更強的一類「忘記過去」的概念：粗略來說，如果系統的遠期狀態和當前狀態越來越接近獨立，就具有 mixing 行為，mixing 往往意味著良好的遍歷性，但兩者並不完全等價。
4.2 非遍歷系統為什麼重要
非遍歷性常見於多吸引子動力系統、含有多個 communicating class 或吸收態的 Markov chain、玻璃態等複雜物理系統，以及具有長期鎖定行為的 path-dependent 系統，此時單條 trajectory 可能永遠只能探索狀態空間的一部分。第 2 節的例子看似是刻意構造的極端情形，但實際系統裡的「多吸引子」結構（例如訓練過程可能收斂到不同的局部最優解、或生態系統可能穩定在不同的平衡點）本質上是同一種現象：只跑一次、觀察很久，得到的結論不一定能代表所有可能的初始條件或隨機性。
5. 小結
遍歷性真正問的是：沿著一個系統看得足夠久，是否等價於看很多個平行系統？第 2 節的非遍歷例子和第 3.2 節的遍歷 Markov chain 例子形成鮮明對比：前者無論觀察多久都學不到真正的 ensemble 變異數，後者一條夠長的軌跡就能準確估計出整個平穩分佈。遍歷性把機率分佈、long-run average 和 sample path 聯繫起來，是判斷「一條時間序列能否代表整體」這個問題的核心概念，也是幾乎所有從單一觀測歷史做統計推論的場合，都必須先確認（而不是假設）成立的前提。