隨機過程 11：布朗運動

隨機遊走發生在離散時間上：第一步、第二步、第三步……如果把時間間隔和每一步的空間位移都變得越來越細小，在合適的縮放下，離散隨機遊走會趨向隨機過程裡最重要的連續模型之一：布朗運動（Brownian motion），也叫 Wiener process。

1. 布朗運動的定義

1.1 從隨機遊走的縮放律出發

簡單隨機遊走 $S_n=\epsilon_1+\cdots+\epsilon_n$（$\epsilon_i$ 獨立、以相同機率取 $\pm1$）滿足中心極限定理 $S_n/\sqrt n\Rightarrow N(0,1)$：時間尺度增加 $n$ 倍時，空間尺度只需要放大 $\sqrt n$ 倍就能維持穩定的分佈，這已經暗示了布朗運動的縮放律。

1.2 布朗運動的四條性質

標準布朗運動 $\{B_t\}_{t\ge0}$ 滿足：$B_0=0$；具有獨立增量；對任意 $0\le s<t$，$B_t-B_s\sim N(0,t-s)$；sample path 幾乎必然連續。這四條性質幾乎完整刻畫了標準布朗運動。

1.3 為什麼變異數是 $t-s$：具體算一次

長度為 $\Delta t$ 的時間區間中，位移的標準差是 $\sqrt{\Delta t}$，布朗運動因此保留了隨機遊走的 $\sqrt t$ 擴散尺度：平均位移為 0，但波動範圍隨時間按平方根增加。以 $t=4$ 為例，$B_4\sim N(0,4)$，標準差是 2；位移超過 3（也就是 1.5 個標準差）的機率是 $P(|B_4|>3)=2(1-\Phi(1.5))\approx0.1336$，約 13.4%。

1.4 反射原理：最大值和終點的分布有多接近

令 $M_t=\max_{0\le s\le t}B_s$ 為布朗運動在 $[0,t]$ 內達到過的最高點。因為 sample path 連續，一旦 $B_s$ 觸碰到某個高度 $a>0$，之後從 $a$ 這一刻起把路徑「鏡射」（讓後續的漲跌方向反轉）仍然是一條合法的布朗運動路徑，機率完全相同——這就是隨機遊走的反射原理在連續時間下的版本。由此可以推出

$P(M_t\ge a)=2P(B_t\ge a),\qquad a>0.$

直觀理解：路徑觸碰過 $a$ 之後，鏡射前後兩種延續方式（原路徑往上、鏡射後往下）恰好一半一半，其中「原路徑」對應終點仍 $\ge a$，「鏡射」對應終點被反射到 $\le a$，兩者機率相等，合起來才是「觸碰過 $a$」這件事的完整機率。用 1.3 節同一組數字驗證：$t=4$、$a=3$，$P(M_4\ge3)=2P(B_4\ge3)=2\big(1-\Phi(1.5)\big)\approx0.1336$——和 1.3 節算出的 $P(|B_4|>3)\approx0.1336$ 完全一樣。這不是巧合：$P(|B_t|\ge a)=P(B_t\ge a)+P(B_t\le-a)=2P(B_t\ge a)$（對稱性），所以「整段路徑中曾經衝到 $a$ 以上」和「單看終點落在 $\pm a$ 之外」的機率，對標準布朗運動而言正好相等。

2. 路徑與增量性質

2.1 連續但不可導

布朗運動最反直覺的性質之一是：sample path 連續，卻幾乎處處不可導。它不會像跳躍過程那樣突然斷開，卻在任意小的時間尺度上都充滿劇烈波動，因此普通意義下的速度 $\lim_{\Delta t\to0}(B_{t+\Delta t}-B_t)/\Delta t$ 通常不存在，這也是為什麼隨機微積分不能簡單照搬普通微積分規則的根本原因。

2.2 獨立增量、平穩增量，卻不是 stationary process

布朗運動具有獨立增量（不重疊區間上的變化彼此獨立）和平穩增量（$B_{t+h}-B_t\sim N(0,h)$ 只依賴時間長度 $h$，不依賴起點）。但布朗運動本身不是 stationary process：$\operatorname{Var}(B_t)=t$ 會隨時間持續增長，平穩增量說的是「變化量」的分佈不隨時間改變，不是「絕對位置」本身的分佈不變——這兩者是完全不同的性質，容易混淆。

2.3 縮放性質

布朗運動滿足一個漂亮的縮放性質：$\{B_{ct}\}\overset{d}{=}\{\sqrt c\,B_t\}$，時間放大 $c$ 倍等價於空間放大 $\sqrt c$ 倍，這正是隨機遊走 $\sqrt n$ 尺度的連續版本。

3. 連續極限與擴散

3.1 從隨機遊走到布朗運動

不僅終點 $S_n/\sqrt n$ 會趨向高斯分佈，如果把整條隨機遊走軌跡進行時間和空間縮放，整個過程會趨向布朗運動，這就是函數型中心極限定理，也常用 Donsker 定理表述：布朗運動可以理解成大量微小獨立隨機擾動連續累積後的極限過程，是隨機遊走 → 中心極限定理 → 布朗運動這條主線的最終落點。

3.2 布朗運動與擴散方程

布朗運動最初來自對微粒隨機運動的物理描述：大量微觀碰撞的方向不可預測，但宏觀上會形成穩定的擴散規律。它的機率密度滿足的方程與熱方程密切相關，$\partial p/\partial t=\frac12\partial^2p/\partial x^2$，建立了隨機過程與偏微分方程之間非常深的聯繫，也是後續研究隨機微分方程時，機率論與分析工具能夠互相轉換的原因。

4. 與其他過程的聯繫

4.1 布朗運動也是高斯過程：具體算一次

對任意有限多個時間點 $t_1,\dots,t_n$，隨機向量 $(B_{t_1},\dots,B_{t_n})$ 服從多元高斯分佈，因此布朗運動也是一個高斯過程，共變異數函數為 $\operatorname{Cov}(B_s,B_t)=\min(s,t)$。以 $s=2$、$t=7$ 為例，$\operatorname{Cov}(B_2,B_7)=\min(2,7)=2$，對應的相關係數是 $2/\sqrt{2\times7}=2/\sqrt{14}\approx0.535$：兩個時間點距離越遠（$t-s$ 越大，但較小的那個 $s$ 固定），相關性通常會下降，因為 $\min(s,t)$ 相對於 $\sqrt{st}$ 的比例會變小。

4.2 為什麼它如此重要

布朗運動是很多連續隨機模型的基礎噪聲來源。之後的隨機微分方程通常寫成 $dX_t=\mu(X_t,t)\,dt+\sigma(X_t,t)\,dB_t$，其中 $dB_t$ 就來自布朗運動，廣泛用於擴散建模、金融數學、統計物理、隨機控制與貝氏隨機建模。

5. 小結

布朗運動是從離散隨機遊走進入連續隨機過程的橋梁：隨機遊走透過中心極限定理，在適當縮放下收斂到布朗運動，布朗運動又是隨機微分方程裡雜訊項的來源。它同時是獨立增量過程、非平穩過程（因為變異數隨時間增長）和高斯過程，這三個身分合在一起，讓布朗運動成為連續時間隨機過程理論裡最基礎、也最常被直接引用的構件。