随机过程 11：布朗运动

随机游走发生在离散时间上：第一步、第二步、第三步……如果把时间间隔和每一步的空间位移都变得越来越细小，在合适的缩放下，离散随机游走会趋向随机过程里最重要的连续模型之一：布朗运动（Brownian motion），也叫 Wiener process。

1. 布朗运动的定义

1.1 从随机游走的缩放律出发

简单随机游走 $S_n=\epsilon_1+\cdots+\epsilon_n$（$\epsilon_i$ 独立、以相同概率取 $\pm1$）满足中心极限定理 $S_n/\sqrt n\Rightarrow N(0,1)$：时间尺度增加 $n$ 倍时，空间尺度只需要放大 $\sqrt n$ 倍就能维持稳定的分布，这已经暗示了布朗运动的缩放律。

1.2 布朗运动的四条性质

标准布朗运动 $\{B_t\}_{t\ge0}$ 满足：$B_0=0$；具有独立增量；对任意 $0\le s<t$，$B_t-B_s\sim N(0,t-s)$；sample path 几乎必然连续。这四条性质几乎完整刻画了标准布朗运动。

1.3 为什么方差是 $t-s$：具体算一次

长度为 $\Delta t$ 的时间区间中，位移的标准差是 $\sqrt{\Delta t}$，布朗运动因此保留了随机游走的 $\sqrt t$ 扩散尺度：平均位移为 0，但波动范围随时间按平方根增加。以 $t=4$ 为例，$B_4\sim N(0,4)$，标准差是 2；位移超过 3（也就是 1.5 个标准差）的概率是 $P(|B_4|>3)=2(1-\Phi(1.5))\approx0.1336$，约 13.4%。

1.4 反射原理：最大值和终点的分布有多接近

令 $M_t=\max_{0\le s\le t}B_s$ 为布朗运动在 $[0,t]$ 内达到过的最高点。因为 sample path 连续，一旦 $B_s$ 触碰到某个高度 $a>0$，之后从 $a$ 这一刻起把路径”镜射”（让后续的涨跌方向反转）仍然是一条合法的布朗运动路径，概率完全相同——这就是随机游走的反射原理在连续时间下的版本。由此可以推出

$P(M_t\ge a)=2P(B_t\ge a),\qquad a>0.$

直观理解：路径触碰过 $a$ 之后，镜射前后两种延续方式（原路径往上、镜射后往下）恰好一半一半，其中”原路径”对应终点仍 $\ge a$，“镜射”对应终点被反射到 $\le a$，两者概率相等，合起来才是”触碰过 $a$“这件事的完整概率。用 1.3 节同一组数字验证：$t=4$、$a=3$，$P(M_4\ge3)=2P(B_4\ge3)=2\big(1-\Phi(1.5)\big)\approx0.1336$——和 1.3 节算出的 $P(|B_4|>3)\approx0.1336$ 完全一样。这不是巧合：$P(|B_t|\ge a)=P(B_t\ge a)+P(B_t\le-a)=2P(B_t\ge a)$（对称性），所以”整段路径中曾经冲到 $a$ 以上”和”单看终点落在 $\pm a$ 之外”的概率，对标准布朗运动而言正好相等。

2. 路径与增量性质

2.1 连续但不可导

布朗运动最反直觉的性质之一是：sample path 连续，却几乎处处不可导。它不会像跳跃过程那样突然断开，却在任意小的时间尺度上都充满剧烈波动，因此普通意义下的速度 $\lim_{\Delta t\to0}(B_{t+\Delta t}-B_t)/\Delta t$ 通常不存在，这也是为什么随机微积分不能简单照搬普通微积分规则的根本原因。

2.2 独立增量、平稳增量，却不是 stationary process

布朗运动具有独立增量（不重叠区间上的变化彼此独立）和平稳增量（$B_{t+h}-B_t\sim N(0,h)$ 只依赖时间长度 $h$，不依赖起点）。但布朗运动本身不是 stationary process：$\operatorname{Var}(B_t)=t$ 会随时间持续增长，平稳增量说的是”变化量”的分布不随时间改变，不是”绝对位置”本身的分布不变——这两者是完全不同的性质，容易混淆。

2.3 缩放性质

布朗运动满足一个漂亮的缩放性质：$\{B_{ct}\}\overset{d}{=}\{\sqrt c\,B_t\}$，时间放大 $c$ 倍等价于空间放大 $\sqrt c$ 倍，这正是随机游走 $\sqrt n$ 尺度的连续版本。

3. 连续极限与扩散

3.1 从随机游走到布朗运动

不仅终点 $S_n/\sqrt n$ 会趋向高斯分布，如果把整条随机游走轨迹进行时间和空间缩放，整个过程会趋向布朗运动，这就是函数型中心极限定理，也常用 Donsker 定理表述：布朗运动可以理解成大量微小独立随机扰动连续累积后的极限过程，是随机游走 → 中心极限定理 → 布朗运动这条主线的最终落点。

3.2 布朗运动与扩散方程

布朗运动最初来自对微粒随机运动的物理描述：大量微观碰撞的方向不可预测，但宏观上会形成稳定的扩散规律。它的概率密度满足的方程与热方程密切相关，$\partial p/\partial t=\frac12\partial^2p/\partial x^2$，建立了随机过程与偏微分方程之间非常深的联系，也是后续研究随机微分方程时，概率论与分析工具能够互相转换的原因。

4. 与其他过程的联系

4.1 布朗运动也是高斯过程：具体算一次

对任意有限多个时间点 $t_1,\dots,t_n$，随机向量 $(B_{t_1},\dots,B_{t_n})$ 服从多元高斯分布，因此布朗运动也是一个高斯过程，协方差函数为 $\operatorname{Cov}(B_s,B_t)=\min(s,t)$。以 $s=2$、$t=7$ 为例，$\operatorname{Cov}(B_2,B_7)=\min(2,7)=2$，对应的相关系数是 $2/\sqrt{2\times7}=2/\sqrt{14}\approx0.535$：两个时间点距离越远（$t-s$ 越大，但较小的那个 $s$ 固定），相关性通常会下降，因为 $\min(s,t)$ 相对于 $\sqrt{st}$ 的比例会变小。

4.2 为什么它如此重要

布朗运动是很多连续随机模型的基础噪声来源。之后的随机微分方程通常写成 $dX_t=\mu(X_t,t)\,dt+\sigma(X_t,t)\,dB_t$，其中 $dB_t$ 就来自布朗运动，广泛用于扩散建模、金融数学、统计物理、随机控制与贝叶斯随机建模。

5. 小结

布朗运动是从离散随机游走进入连续随机过程的桥梁：随机游走透过中心极限定理，在适当缩放下收敛到布朗运动，布朗运动又是随机微分方程里噪声项的来源。它同时是独立增量过程、非平稳过程（因为方差随时间增长）和高斯过程，这三个身份合在一起，让布朗运动成为连续时间随机过程理论里最基础、也最常被直接引用的构件。