AI & Algorithms
從確定性微分方程走向含噪動力系統，理解 drift、diffusion 與 Itô 積分，並用 Ornstein–Uhlenbeck 過程與幾何布朗運動具體算出解析解。
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從縮放後的隨機遊走出發，理解布朗運動的獨立增量、連續路徑與高斯結構，用反射原理推導最大值的分布，並用具體數字計算尾端機率與共變異數。
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比較 ensemble average 與 time average，用具體數字說明何時一條足夠長的樣本路徑能代表整體分佈、何時完全不能。
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從濾過和條件期望出發，理解鞅的公平遊戲直覺，並用 optional stopping theorem 具體推導出賭徒破產問題的兩個關鍵公式。
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通過有限維高斯分佈、平均值函數和共變異數核，理解高斯過程如何描述函數上的機率分佈。
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把泊松過程推廣到任意非負到達間隔，理解更新函數、長期更新率與 renewal reward，並用具體數字說明檢查悖論為何存在。
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從一維簡單隨機遊走出發，理解隨機增量如何累積、波動尺度為何是 √t、三維以上逃走機率的精確值，並用反射原理與賭徒破產問題具體算出到達機率。
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從計數過程、獨立增量和指數等待時間出發，理解泊松過程如何描述隨機事件的到達，並用具體數字示範疊加、稀疏化與到達間隔的計算。
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區分 hitting time、first passage time 與 stopping time，並用賭徒破產問題具體算出平均要玩多少局才會結束。
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從轉移矩陣與平穩分佈出發，具體解出一個馬爾可夫鏈的平穩分佈，理解不可約性、週期性、常返與 mixing 如何共同決定長期收斂行為。
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解釋馬爾可夫性質的條件獨立含義、狀態設計為什麼決定一個過程能否被視為馬爾可夫過程，並用轉移矩陣示範多步轉移機率的計算。
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從切比雪夫不等式推導樣本平均的收斂，再用中心極限定理量化剩餘波動，並連接隨機遊走、相依資料與布朗運動。
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理解隨機過程中的嚴格平穩、弱平穩和平穩增量，以及統計規律隨時間保持不變的真正含義。
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從邊緣分佈走向聯合分佈，理解平均值、共變異數、自相關以及隨機過程真正研究的依賴結構。
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從隨機變數、隨機向量和樣本路徑出發，建立隨機過程與隨機場的基本直覺。