前面的隨機過程主要研究「狀態是什麼」和「狀態怎麼變化」，但很多實際問題關心的不是固定時間點，而是「某件事情第一次什麼時候發生」：隨機遊走什麼時候第一次回到原點、股票價格什麼時候第一次超過閾值、排隊系統什麼時候第一次清空、賭徒什麼時候破產。這些問題引出了 hitting time、first passage time 和 stopping time 三個概念。

1. 首次到達時間

1.1 到達時間本身也是隨機變數

設 {Xt}\{X_t\} 是隨機過程，給定目標集合 AA，定義 τA=inf⁡{t≥0:Xt∈A}\tau_A=\inf\{t\ge0:X_t\in A\} 為第一次進入 AA 的時間；若 A={a}A=\{a\} 是單一狀態，記成 τa\tau_a。例如一維隨機遊走第一次到達位置 10 就是 τ10=inf⁡{t≥0:Xt=10}\tau_{10}=\inf\{t\ge0:X_t=10\}。τA\tau_A 不是固定時間，而是隨機變數：不同的 sample path 可能第 20 步到達、第 300 步到達，甚至永遠到不了，因此可以研究 P(τA<∞)P(\tau_A<\infty)（最終能否到達）、P(τA≤t)P(\tau_A\le t)（在時間 tt 之前到達的機率）與 E[τA]E[\tau_A]（平均要多久）。隨機過程不只產生隨機的狀態，也產生隨機的時間。

1.2 First passage time 與 return time

如果目標是第一次穿過某個閾值，通常稱為 first passage time，例如 τ=inf⁡{t:Xt≥b}\tau=\inf\{t:X_t\ge b\} 表示第一次達到或超過閾值 bb。如果研究的是第一次回到初始狀態，則稱為 return time，例如隨機遊走從原點出發、第一次再次回到原點的 τ0+=inf⁡{t≥1:Xt=0}\tau_0^+=\inf\{t\ge1:X_t=0\}——這正是隨機過程 7裡 recurrent／transient 判斷所依賴的那個時間本身。

2. Stopping time

2.1 不能偷看未來

並不是所有「隨機時間」都叫 stopping time。Stopping time 的核心要求是：到達時間 tt 時，只根據目前已經觀察到的資訊，就能判斷「是否應該停止」。設 Ft\mathcal F_t 表示到時間 tt 為止掌握的全部資訊，若事件 {τ≤t}\{\tau\le t\} 可以只憑 Ft\mathcal F_t 判斷，τ\tau 就是一個 stopping time；直覺上就是「不能偷看未來」。

2.2 一個不是 stopping time 的反例

「隨機遊走最後一次訪問原點的時間」通常不是 stopping time：當你現在位於原點時，無法只憑目前的資訊判斷「這是不是最後一次」，要確認這件事必須先看到未來所有時刻是否還會再回來。它是一個定義明確的隨機時間，卻不滿足「只根據當下資訊就能判斷是否停止」這個條件，因此不是 stopping time。

3. 應用：賭徒破產的停止時間

3.1 停止規則本身就是一個 stopping time

設賭徒資產為 XtX_t，每局以相同機率贏 1 元或輸 1 元，遊戲在資產到達 0 或 NN 時結束，對應的停止時間是 τ=inf⁡{t:Xt∈{0,N}}\tau=\inf\{t:X_t\in\{0,N\}\}。判斷「現在該不該停」只需要看當前資產是否落在 {0,N}\{0,N\}，完全不需要偷看未來，所以 τ\tau 是一個合法的 stopping time。圍繞這個 τ\tau 可以研究先到 NN 的機率、先到 0 的機率，以及平均要玩多少局才會結束。

3.2 具體算一次：平均要玩多少局

延續隨機過程 7裡 k=30k=30、N=100N=100 的例子：對公平硬幣的賭徒破產問題，平均結束時間有一個簡潔公式 E[τ]=k(N−k)E[\tau]=k(N-k)。代入 k=30k=30、N=100N=100，E[τ]=30×70=2100E[\tau]=30\times70=2100——平均要玩 2100 局才會分出勝負，遠比「先到 100 元的機率是 0.3」這個結果給人的直覺長得多。把 kk 移到中間（k=50k=50）時，E[τ]=50×50=2500E[\tau]=50\times50=2500 達到最大值：起點離兩個邊界都遠，平均要花更久才會撞到任何一邊；起點越靠近某一個邊界（kk 越接近 0 或 NN），E[τ]E[\tau] 越小，因為很快就會撞上離得近的那個邊界。

4. Stopping time 與強馬爾可夫性

很多現實決策本身就是「看到某種狀態以後停止」：價格達到目標後賣出、機器故障後維修、檢定統計量超過閾值後停止實驗、排隊長度降到 0 時結束忙期——它們都不是固定時刻，而是由隨機過程自己決定的隨機時刻，這也是 stopping time 在金融數學、可靠度分析和統計檢定裡反覆出現的原因。對 Markov process 而言，到達某個狀態以後，未來通常只需要從當前狀態重新開始分析，這個性質延伸到隨機時間就是強馬爾可夫性（strong Markov property）：不只在固定時間點成立 Markov 性，在任何合法的 stopping time 處重新開始，未來也只依賴停止時的當前狀態，不依賴到達這個狀態的路徑。這正是第 3.2 節能夠把「到達 0 或 NN 之後」直接視為新起點分析的理論依據，也讓 hitting time 分析可以用遞迴的方式拆解。

5. 常見誤解與小結

最容易混淆的一點是把「隨機時間」和「stopping time」當成同義詞：兩者的差別完全在於能不能只用當下資訊判斷，2.2 節的反例就是提醒——只要判斷需要偷看未來，不管這個時間點定義得多麼自然，都不是 stopping time。另一個常見誤解是以為 hitting time 的機率結果（例如先到達哪個邊界）已經完整回答了問題，卻忽略平均需要多久：3.2 節的例子說明，達成目標的機率和達成目標所需的時間是兩個獨立的問題，不能只看其中一個就下結論。

Hitting time 把問題從「某個固定時間是什麼狀態」變成「某個隨機事件第一次什麼時候發生」，stopping time 進一步要求停止與否只能依據當前及過去的資訊決定，兩者合在一起，是隨機遊走、Markov chain、排隊論、金融數學和隨機控制共用的基礎工具。