機率與統計 1：樣本空間、事件與隨機變數

機率論研究不確定性，但「不確定」不代表無法分析。機率模型先列出可能結果，再用數值描述不同結果出現的可能性。統計學則從已經觀察到的資料反推模型、估計未知參數，或判斷某個假設是否可信。

初學者常直接背排列組合或分佈公式，卻沒有分清楚樣本、事件、隨機變數和觀測值。概念混用會讓條件機率、期望值、統計推斷與隨機過程變得難以理解。本文先建立一套可以反覆使用的語言，再用擲骰子、品質檢測與伺服器請求等例子完成計算。

1. 從隨機試驗到機率空間

1.1 隨機試驗與樣本空間

一次操作如果在執行前無法確定結果，就可以視為隨機試驗（random experiment）。典型例子包括擲一顆骰子並記錄點數、抽取一件產品並檢查是否合格、記錄伺服器下一分鐘收到的請求數，以及測量一顆電子元件的壽命。機率模型需要清楚定義「一次試驗」和「要記錄的結果」；含糊的試驗定義無法產生含義明確的機率。

隨機試驗所有可能結果的集合稱為樣本空間（sample space），通常記為 $\Omega$；樣本空間中的單個結果記為 $\omega$。擲一顆六面骰子的樣本空間是 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$。擲兩顆可區分的骰子時，可以用 $\Omega=\{(i,j):i,j\in\{1,2,3,4,5,6\}\}$ 表示 36 個有序結果。$(1,6)$ 與 $(6,1)$ 是不同結果，雖然兩個結果的點數和都是 7。

樣本空間也可以是無限集合。重複擲硬幣直到第一次正面，可以用 $\{1,2,3,\dots\}$ 表示等待次數；電子元件壽命可以用 $[0,\infty)$ 表示；一段時間內的溫度曲線則需要用函數集合表示。有限樣本空間適合用計數處理，連續或函數型樣本空間需要密度、積分和測度等工具。

1.2 事件與集合運算

**事件（event）**是樣本空間的子集合。擲一顆骰子時，令 $A=\{2,4,6\}$ 表示「點數為偶數」，令 $B=\{4,5,6\}$ 表示「點數大於 3」。觀測結果落在事件集合內，就表示事件發生。

集合表示	事件含義
$A\cap B$	$A$ 與 $B$ 同時發生
$A\cup B$	$A$ 或 $B$ 至少一個發生
$A^c$	$A$ 不發生
$A\setminus B$	$A$ 發生但 $B$ 不發生
$A\cap B=\varnothing$	$A$ 與 $B$ 不可能同時發生

上例滿足 $A\cap B=\{4,6\}$，因此「偶數且大於 3」包含點數 4 和 6。

有限樣本空間通常可以把所有子集合都當作事件。無限樣本空間中存在無法一致賦予機率的病態集合，因此嚴格的機率模型會指定一個事件集合族 $\mathcal F$。$\mathcal F$ 對補集與可數聯集封閉，稱為 $\sigma$-algebra。初學階段可以把 $\mathcal F$ 理解為模型允許詢問並能賦予機率的事件集合。

1.3 機率測度與等可能假設

機率測度 $P$ 把事件 $A\in\mathcal F$ 映射成 $[0,1]$ 內的數值。Kolmogorov 公理要求非負性 $P(A)\ge 0$、規範化 $P(\Omega)=1$，以及互斥事件的可數可加性。三元組 $(\Omega,\mathcal F,P)$ 稱為機率空間（probability space）。

公理可以推出 $P(A^c)=1-P(A)$ 和 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$。聯集公式減去交集，因為直接把 $P(A)$ 與 $P(B)$ 相加會重複計算交集。

有限樣本空間中的基本結果若等可能，便可使用 $P(A)=|A|/|\Omega|$。兩顆公平骰子的 36 個有序結果等可能，而點數和並不等可能。和為 7 有 $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ 六種結果，所以 $P(D_1+D_2=7)=6/36=1/6$；和為 2 只有 $(1,1)$ 一種結果。把 2 到 12 當成 11 個等可能的和會得到錯誤答案。

計數公式不能套用到不均勻骰子、故障率不同的元件或連續測量。使用排列組合之前，必須先確認有限與等可能假設。

2. 隨機變數與分佈

2.1 隨機變數是函數

**隨機變數（random variable）**不是一個隨機改變的符號，而是從樣本空間映射到數值集合的函數，寫成 $X:\Omega\rightarrow\mathbb R$。在兩顆骰子的實驗中，可以定義 $X(i,j)=i+j$。基本結果是 $(2,5)$，隨機變數的觀測值則是 $X(2,5)=7$。

同一個樣本空間可以定義多個隨機變數，例如點數和、最大點數、兩顆骰子的差，或第一顆骰子是否為偶數。隨機變數讓研究者忽略不需要的試驗細節，只保留問題關心的數量。

2.2 離散變數、連續變數與 CDF

離散隨機變數的可能值有限或可數，例如骰子點數、請求數與故障次數。離散變數使用機率質量函數（PMF） $p_X(x)=P(X=x)$。

如果 $X$ 是兩顆公平骰子的點數和，則 $p_X(2)=1/36$、$p_X(7)=6/36$。PMF 需要對每個可能值累積所有能產生該值的基本結果，並且所有 PMF 值的總和必須等於 1。

連續隨機變數通常在一段區間內取值，例如時間、溫度與電壓。連續變數常使用機率密度函數（PDF） $f_X(x)$，而區間機率為 $P(a\le X\le b)=\int_a^b f_X(x)\,dx$。連續變數的單點機率通常是 0；密度值可以大於 1，真正受到 $[0,1]$ 限制的是曲線下面積所表示的機率。

任意實值隨機變數都能使用累積分佈函數（CDF） $F_X(x)=P(X\le x)$。CDF 單調不減，並滿足 $\lim_{x\to-\infty}F_X(x)=0$ 與 $\lim_{x\to\infty}F_X(x)=1$。離散變數的 CDF 呈階梯狀；如果連續變數具有 PDF，則 $F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(u)\,du$。

3. 條件機率、獨立性與 Bayes 定理

3.1 條件機率縮小樣本範圍

觀察到事件 $B$ 已經發生後，事件 $A$ 的條件機率定義為 $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$，其中 $P(B)>0$。條件機率把分析範圍限制在 $B$ 內，再用 $P(B)$ 重新規範化機率。

以兩顆公平骰子為例，令 $A$ 表示「點數和為 8」，令 $B$ 表示「第一顆骰子為偶數」。事件 $B$ 含有 18 個等可能結果；同時符合 $A$ 與 $B$ 的結果為 $(2,6),(4,4),(6,2)$，所以 $P(A\mid B)=3/18=1/6$。如果不知道第一顆骰子的奇偶性，則和為 8 有五個結果，$P(A)=5/36$。額外資訊改變了可比較的結果集合，因此也改變事件機率。

乘法公式 $P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$ 可以延伸到多個事件。對事件序列 $A_1,\dots,A_n$，聯合機率可以分解為逐步條件機率的乘積。機器學習的自迴歸模型也使用相同的 chain rule，把 token 序列的聯合機率拆成每個 token 在先前 token 條件下的機率。

3.2 獨立性是聯合分佈的條件

事件 $A$ 與 $B$ 獨立時滿足 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$。若 $P(B)>0$，等價條件是 $P(A\mid B)=P(A)$：得知 $B$ 發生不會改變 $A$ 的機率。

互斥與獨立具有不同含義。兩個具有正機率的互斥事件不可能同時發生，所以 $P(A\cap B)=0$，但 $P(A)P(B)>0$；互斥事件因此不獨立。獨立性也不能只靠直覺宣告，必須來自抽樣設計、生成機制或可以檢驗的聯合分佈假設。

多個事件的兩兩獨立只要求每一對事件的聯合機率可以分解；相互獨立還要求任意子集合的聯合機率都能分解。相互獨立一定推出兩兩獨立，反向推論通常不成立。

3.3 全機率公式與 Bayes 定理

若 $B_1,\dots,B_m$ 兩兩互斥且聯集為整個樣本空間，則事件 $A$ 的機率可以按不同來源拆分：$P(A)=\sum_iP(A\mid B_i)P(B_i)$。該公式稱為全機率公式。

Bayes 定理反轉條件方向：$P(B_j\mid A)=P(A\mid B_j)P(B_j)/P(A)$。分子由似然 $P(A\mid B_j)$ 與先驗機率 $P(B_j)$ 組成，分母把所有可能來源的聯合機率加總，使後驗機率總和等於 1。

假設某疾病盛行率為 1%，檢測對患者的陽性率為 95%，對非患者的偽陽性率為 5%。令 $D$ 表示患病，令 $+$ 表示陽性。陽性的總機率為 $P(+)=0.95\times0.01+0.05\times0.99=0.059$，所以陽性後真正患病的機率為 $P(D\mid +)=0.95\times0.01/0.059\approx0.161$。檢測靈敏度很高，陽性者的患病機率仍只有約 16.1%，原因是非患者人數遠多於患者，5% 偽陽性會累積出大量陽性結果。

Bayes 計算需要同時保留基準率與檢測條件機率。只看 $P(+\mid D)$ 並把 95% 誤認為 $P(D\mid +)$，就是常見的條件方向錯置。

4. 小結：機率空間是後續主題共用的語言

機率空間 $(\Omega,\mathcal F,P)$ 定義可能結果、可詢問事件與機率規則；隨機變數 $X$ 再把基本結果映射成可分析的數值。PMF、PDF 與 CDF 描述單一隨機變數的分佈，條件機率、獨立性與 Bayes 定理則說明多個事件如何互相影響、如何根據新證據更新機率判斷。樣本空間、事件、機率測度與隨機變數這套語言，是之後討論分佈比較、聯合分佈與統計估計時反覆使用的基礎。

讀者可以接著閱讀隨機過程 1：什麼是隨機過程，把隨機變數延伸成帶索引的隨機變數族；計數型應用可參考隨機過程 9：泊松過程。