機率與統計 4：卡方分佈、t 分佈與 F 分佈

機率與統計 3介紹了樣本平均 $\bar X_n$ 與樣本變異數 $S^2$，但只說明兩者的期望值，沒有說明它們本身作為隨機變數的完整分佈。要建立平均值的信賴區間、比較兩組資料的變異數是否有差異，都需要知道這些統計量真正的抽樣分佈。卡方、t 與 F 分佈都是從標準常態分佈推導出來的三個分佈家族，專門用來描述樣本變異數，以及在變異數未知時如何估計平均值。

1. 從標準常態到卡方分佈

1.1 卡方分佈的定義

若 $Z_1,\dots,Z_k$ 是 $k$ 個獨立的標準常態隨機變數，則平方和 $Q=Z_1^2+\cdots+Z_k^2$ 服從卡方分佈（chi-square distribution），記為 $Q\sim\chi^2_k$，其中 $k$ 稱為自由度（degrees of freedom）。卡方分佈只取非負值，且形狀隨自由度改變：自由度小時右偏明顯，自由度愈大則愈接近常態分佈。卡方分佈的期望值為 $E[Q]=k$，變異數為 $\text{Var}(Q)=2k$；例如 $\chi^2_9$ 的期望值是 9，變異數是 18。

1.2 樣本變異數的抽樣分佈

對 $X_1,\dots,X_n\sim N(\mu,\sigma^2)$ 獨立抽樣，可以證明 $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}$，其中 $S^2$ 是系列第三篇定義的不偏樣本變異數。自由度是 $n-1$ 而不是 $n$，原因與 $S^2$ 本身的定義一致：樣本平均 $\bar X_n$ 已經用掉資料中的一個自由度，剩下 $n-1$ 個獨立的離均差資訊。這個關係式讓 $S^2$ 的變異程度可以用卡方分佈精確描述，是建構變異數信賴區間的基礎。

2. t 分佈：變異數未知時估計平均值

2.1 t 分佈的定義與動機

若母體變異數 $\sigma^2$ 已知，$\dfrac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}$ 服從標準常態分佈。但實務上 $\sigma^2$ 通常未知，只能用樣本變異數 $S^2$ 代替，這時統計量 $\dfrac{\bar X_n-\mu}{S/\sqrt n}$ 不再是標準常態，而是服從自由度 $n-1$ 的 t 分佈（Student’s t-distribution），記為 $t_{n-1}$。t 分佈可以定義為標準常態除以獨立卡方變數的均方根：$T=Z/\sqrt{V/k}$，其中 $Z\sim N(0,1)$、$V\sim\chi^2_k$。

t 分佈的形狀與常態分佈相似，同樣以 0 為中心對稱，但尾部比常態分佈更厚，自由度愈小尾部愈厚，因為用 $S$ 取代 $\sigma$ 額外引入了估計變異數的不確定性。當自由度趨近無限大時，t 分佈趨近標準常態分佈。

2.2 用 t 分佈建立平均值的信賴區間

當樣本數不大且 $\sigma^2$ 未知時，平均值的 95% 信賴區間為 $\bar x\pm t_{0.025,\,n-1}\times s/\sqrt n$，其中 $t_{0.025,\,n-1}$ 是 t 分佈的雙尾臨界值。

假設某次量測 $n=10$ 個樣本，樣本平均 $\bar x=52.3$，樣本標準差 $s=4.8$，查表得 $t_{0.025,9}\approx2.262$。信賴區間的誤差範圍為 $2.262\times4.8/\sqrt{10}\approx3.43$，因此 95% 信賴區間約為 $(48.87,55.73)$。自由度較小時 $t_{0.025,9}$ 明顯大於常態分佈對應的臨界值 1.96，這正是 t 分佈厚尾特性反映在信賴區間上的結果：樣本數愈少，對變異數的估計愈不確定，信賴區間也應該相應加寬。

3. F 分佈：比較兩個變異數

3.1 F 分佈的定義

若 $U\sim\chi^2_{d_1}$、$V\sim\chi^2_{d_2}$ 且兩者獨立，則比值 $F=\dfrac{U/d_1}{V/d_2}$ 服從自由度為 $(d_1,d_2)$ 的 F 分佈，記為 $F\sim F_{d_1,d_2}$。F 分佈只取非負值，形狀由兩個自由度共同決定，且與卡方、t 分佈一樣可以由標準常態推導出來，三者都是同一套「常態抽樣理論」下的自然結果。

3.2 比較兩組樣本的變異數

對兩組獨立的常態樣本，各自的不偏變異數 $S_1^2,S_2^2$ 滿足 $\dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F_{n_1-1,n_2-1}$。若兩個母體變異數相等（$\sigma_1^2=\sigma_2^2$），此統計量會化簡成 $S_1^2/S_2^2\sim F_{n_1-1,n_2-1}$，可以直接用觀測到的變異數比值判斷「兩組變異數相等」這個假設是否合理。

假設兩組樣本大小分別為 $n_1=13$、$n_2=16$，樣本變異數為 $S_1^2=15.2$、$S_2^2=8.7$，比值為 $F=15.2/8.7\approx1.747$。對應自由度 $(12,15)$ 的臨界值 $F_{0.05,12,15}\approx2.475$。由於觀測到的比值 1.747 小於臨界值 2.475，這組資料不足以在 5% 顯著水準下判定兩個母體變異數不同。F 分佈也是變異數分析（ANOVA）比較多組平均值時使用的核心分佈。

4. 小結：抽樣分佈連接估計與推論

$\chi^2$、t 與 F 分佈都建立在「獨立標準常態變數的組合」之上：卡方分佈描述平方和，t 分佈描述常態與卡方的比值，F 分佈描述兩個卡方的比值。三者分別對應統計推論中最常見的三種問題：卡方分佈描述單一變異數的抽樣分佈，t 分佈讓變異數未知時仍能估計平均值，F 分佈讓兩組變異數可以直接比較。這些抽樣分佈是信賴區間與假設檢定共用的計算基礎。