概率与统计 4：卡方分布、t 分布与 F 分布

概率与统计 3介绍了样本均值 $\bar X_n$ 与样本方差 $S^2$，但只说明两者的期望值，没有说明它们本身作为随机变量的完整分布。要建立均值的置信区间、比较两组数据的方差是否有差异，都需要知道这些统计量真正的抽样分布。卡方、t 与 F 分布都是从标准正态分布推导出来的三个分布家族，专门用来描述样本方差，以及在方差未知时如何估计均值。

1. 从标准正态到卡方分布

1.1 卡方分布的定义

若 $Z_1,\dots,Z_k$ 是 $k$ 个独立的标准正态随机变量，则平方和 $Q=Z_1^2+\cdots+Z_k^2$ 服从卡方分布（chi-square distribution），记为 $Q\sim\chi^2_k$，其中 $k$ 称为自由度（degrees of freedom）。卡方分布只取非负值，且形状随自由度改变：自由度小时右偏明显，自由度愈大则愈接近正态分布。卡方分布的期望值为 $E[Q]=k$，方差为 $\text{Var}(Q)=2k$；例如 $\chi^2_9$ 的期望值是 9，方差是 18。

1.2 样本方差的抽样分布

对 $X_1,\dots,X_n\sim N(\mu,\sigma^2)$ 独立抽样，可以证明 $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}$，其中 $S^2$ 是系列第三篇定义的无偏样本方差。自由度是 $n-1$ 而不是 $n$，原因与 $S^2$ 本身的定义一致：样本均值 $\bar X_n$ 已经用掉数据中的一个自由度，剩下 $n-1$ 个独立的离均差信息。这个关系式让 $S^2$ 的变异程度可以用卡方分布精确描述，是构建方差置信区间的基础。

2. t 分布：方差未知时估计均值

2.1 t 分布的定义与动机

若总体方差 $\sigma^2$ 已知，$\dfrac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}$ 服从标准正态分布。但实务上 $\sigma^2$ 通常未知，只能用样本方差 $S^2$ 代替，这时统计量 $\dfrac{\bar X_n-\mu}{S/\sqrt n}$ 不再是标准正态，而是服从自由度 $n-1$ 的 t 分布（Student’s t-distribution），记为 $t_{n-1}$。t 分布可以定义为标准正态除以独立卡方变量的均方根：$T=Z/\sqrt{V/k}$，其中 $Z\sim N(0,1)$、$V\sim\chi^2_k$。

t 分布的形状与正态分布相似，同样以 0 为中心对称，但尾部比正态分布更厚，自由度愈小尾部愈厚，因为用 $S$ 取代 $\sigma$ 额外引入了估计方差的不确定性。当自由度趋近无限大时，t 分布趋近标准正态分布。

2.2 用 t 分布建立均值的置信区间

当样本数不大且 $\sigma^2$ 未知时，均值的 95% 置信区间为 $\bar x\pm t_{0.025,\,n-1}\times s/\sqrt n$，其中 $t_{0.025,\,n-1}$ 是 t 分布的双尾临界值。

假设某次测量 $n=10$ 个样本，样本均值 $\bar x=52.3$，样本标准差 $s=4.8$，查表得 $t_{0.025,9}\approx2.262$。置信区间的误差范围为 $2.262\times4.8/\sqrt{10}\approx3.43$，因此 95% 置信区间约为 $(48.87,55.73)$。自由度较小时 $t_{0.025,9}$ 明显大于正态分布对应的临界值 1.96，这正是 t 分布厚尾特性反映在置信区间上的结果：样本数愈少，对方差的估计愈不确定，置信区间也应该相应加宽。

3. F 分布：比较两个方差

3.1 F 分布的定义

若 $U\sim\chi^2_{d_1}$、$V\sim\chi^2_{d_2}$ 且两者独立，则比值 $F=\dfrac{U/d_1}{V/d_2}$ 服从自由度为 $(d_1,d_2)$ 的 F 分布，记为 $F\sim F_{d_1,d_2}$。F 分布只取非负值，形状由两个自由度共同决定，且与卡方、t 分布一样可以由标准正态推导出来，三者都是同一套”正态抽样理论”下的自然结果。

3.2 比较两组样本的方差

对两组独立的正态样本，各自的无偏方差 $S_1^2,S_2^2$ 满足 $\dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F_{n_1-1,n_2-1}$。若两个总体方差相等（$\sigma_1^2=\sigma_2^2$），此统计量会化简成 $S_1^2/S_2^2\sim F_{n_1-1,n_2-1}$，可以直接用观测到的方差比值判断”两组方差相等”这个假设是否合理。

假设两组样本大小分别为 $n_1=13$、$n_2=16$，样本方差为 $S_1^2=15.2$、$S_2^2=8.7$，比值为 $F=15.2/8.7\approx1.747$。对应自由度 $(12,15)$ 的临界值 $F_{0.05,12,15}\approx2.475$。由于观测到的比值 1.747 小于临界值 2.475，这组数据不足以在 5% 显著水平下判定两个总体方差不同。F 分布也是方差分析（ANOVA）比较多组均值时使用的核心分布。

4. 小结：抽样分布连接估计与推断

$\chi^2$、t 与 F 分布都建立在”独立标准正态变量的组合”之上：卡方分布描述平方和，t 分布描述正态与卡方的比值，F 分布描述两个卡方的比值。三者分别对应统计推断中最常见的三种问题：卡方分布描述单一方差的抽样分布，t 分布让方差未知时仍能估计均值，F 分布让两组方差可以直接比较。这些抽样分布是置信区间与假设检验共用的计算基础。