有些随机过程不是研究“位置”，而是研究“事件数量”。

例如：

  • 一小时来了多少顾客；
  • 一分钟服务器收到多少请求；
  • 一段时间内发生多少次放射性衰变。

这类过程最经典的模型就是 Poisson process（泊松过程）。

1. 从计数过程到泊松过程

1.1 Counting process

定义：

N(t)=从时间 0 到 t 为止发生的事件总数N(t)=\text{从时间 0 到 }t\text{ 为止发生的事件总数}

那么 {N(t)}t≥0\{N(t)\}_{t\ge0} 是一个 counting process（计数过程）。

一次 sample path 会呈阶梯状，因为事件发生时计数增加 1，没有事件时保持不变。

1.2 Poisson process 的基本定义

强度为 λ>0\lambda>0 的齐次 Poisson process 通常满足：

  1. N(0)=0N(0)=0；
  2. 不重叠时间区间上的增量独立；
  3. 长度为 tt 的区间内事件数服从 Poisson 分布。

因此：

N(t)∼Poisson⁡(λt)(1)\boxed{N(t)\sim\operatorname{Poisson}(\lambda t)} \tag{1}

这里 λ\lambda 表示单位时间内平均发生的事件数。

1.3 Poisson distribution 和 Poisson process 的区别

Poisson distribution 描述：

一个固定区间里发生多少次事件。

例如 N(10)N(10) 是一个随机变量。

Poisson process 描述：

累计事件数 N(t)N(t) 随着时间怎样变化。

所以：

  • N(10)N(10)：随机变量；
  • {N(t)}t≥0\{N(t)\}_{t\ge0}：随机过程。

2. 增量结构

2.1 独立增量

如果区间 [0,1][0,1] 和 [2,3][2,3] 不重叠，那么标准 Poisson process 假设两个区间里的事件数相互独立。

也就是：

N(1)−N(0)N(1)-N(0)

与

N(3)−N(2)N(3)-N(2)

独立。

这叫 independent increments。

2.2 平稳增量

Poisson process 还具有平稳增量。

对于任意 s,t≥0s,t\ge0：

N(s+t)−N(s)∼Poisson⁡(λt)N(s+t)-N(s)\sim\operatorname{Poisson}(\lambda t)

它只取决于区间长度 tt，不取决于区间从什么时候开始。

所以同样长度的一小时，无论发生在早上还是晚上，在齐次模型里都有相同统计规律。

3. 到达间隔与无记忆性

3.1 到达间隔和指数分布

设 T1T_1 表示第一次事件发生前的等待时间。

事件在 tt 之前还没有发生的概率是：

P(T1>t)=P(N(t)=0)=e−λtP(T_1>t)=P(N(t)=0)=e^{-\lambda t}

因此：

T1∼Exponential⁡(λ)(2)\boxed{T_1\sim\operatorname{Exponential}(\lambda)} \tag{2}

而且相邻到达事件之间的等待时间也是 i.i.d. 指数分布。

所以 Poisson process 有两个等价视角：

  • 看固定时间内发生多少次：Poisson 分布；
  • 看下一次事件要等多久：Exponential 分布。

3.2 Memoryless property

指数分布有著名的无记忆性质：

P(T>s+t∣T>s)=P(T>t)P(T>s+t\mid T>s)=P(T>t)

直觉上：

已经等待了多久，不会改变还需要继续等待多久的分布。

这与 Poisson process 的 Markov 性质密切相关。

4. 过程的合并、拆分与推广

4.1 Superposition

如果两个独立 Poisson process 的速率分别为 λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2，把它们的事件合并以后，仍然是 Poisson process，速率为：

λ1+λ2\lambda_1+\lambda_2

这叫 superposition（叠加）。

例如两类独立用户请求合并成总请求流。

4.2 Thinning

反过来，如果一个速率为 λ\lambda 的 Poisson process 中，每个事件独立地以概率 pp 被标记为 A，那么 A 类事件形成新的 Poisson process，速率为 pλp\lambda。

剩余事件的速率为 (1−p)λ(1-p)\lambda。

这叫 thinning（稀疏化）。

4.3 非齐次 Poisson process

现实中的事件速率往往随时间变化。

例如餐厅中午和凌晨的客流显然不同。

这时可以令强度变成 λ(t)\lambda(t)，得到 non-homogeneous Poisson process。

区间 [a,b][a,b] 的平均事件数变成：

∫abλ(t) dt\int_a^b\lambda(t)\,dt

5. 局限

Poisson process 假设：

  • 事件之间没有长程依赖；
  • 到达速率结构简单；
  • inter-arrival time 是指数分布。

很多现实系统不满足这些条件。例如用户访问会爆发式聚集、机器故障寿命并非指数分布。

这会自然引出更一般的 renewal process。

6. 小结

Poisson process 是最基础的随机到达模型：

固定平均速率 + 独立增量 + Poisson 计数\boxed{\text{固定平均速率 + 独立增量 + Poisson 计数}}

它把 Poisson distribution、exponential waiting time、Markov property 和 counting process 串在了一起。