前面的随机过程主要研究“状态是什么”和“状态怎样变化”。但很多实际问题并不关心某个固定时间点，而是关心：

某件事情第一次什么时候发生？

例如随机游走什么时候第一次回到原点，股票价格什么时候第一次超过阈值，排队系统什么时候第一次清空，赌徒什么时候破产。

这些问题自然引出了 hitting time、first passage time 和 stopping time。

1. 首次到达时间

1.1 首次到达时间的定义

设 {Xt}\{X_t\} 是随机过程，给定一个目标集合 AA。定义：

τA=inf⁡{t≥0:Xt∈A}(1)\boxed{\tau_A=\inf\{t\ge0:X_t\in A\}} \tag{1}

τA\tau_A 表示随机过程第一次进入集合 AA 的时间。

如果 A={a}A=\{a\}，则可以写成 τa\tau_a，表示第一次到达状态 aa。

例如一维随机游走第一次到达位置 10：

τ10=inf⁡{t≥0:Xt=10}\tau_{10}=\inf\{t\ge0:X_t=10\}

1.2 时间本身也是随机变量

τA\tau_A 不是一个固定时间，而是一个随机变量。

不同 sample path 可能：

  • 第 20 步到达；
  • 第 300 步到达；
  • 永远到不了。

因此可以研究：

  • P(τA<∞)P(\tau_A<\infty)：最终能否到达；
  • P(τA≤t)P(\tau_A\le t)：在时间 tt 之前到达的概率；
  • E[τA]E[\tau_A]：平均需要多久。

这说明随机过程不仅产生“随机状态”，还会产生“随机时间”。

1.3 First passage time 和 return time

如果目标是第一次穿过某个阈值，经常称为 first passage time。

例如：

τ=inf⁡{t:Xt≥b}\tau=\inf\{t:X_t\ge b\}

表示第一次达到或超过阈值 bb。

如果研究第一次回到初始状态，则称为 return time。例如随机游走从原点出发以后第一次再次回到原点：

τ0+=inf⁡{t≥1:Xt=0}\tau_0^+=\inf\{t\ge1:X_t=0\}

这和 recurrent / transient 的概念直接相关。

2. Stopping time

2.1 什么是 stopping time

并不是所有“随机时间”都叫 stopping time。

Stopping time 的核心要求是：

到达时间 tt 时，只根据目前已经观察到的信息，就能够判断“是否应该停止”。

设 Ft\mathcal F_t 表示到时间 tt 为止我们掌握的全部信息。若事件 {τ≤t}\{\tau\le t\} 可以仅根据 Ft\mathcal F_t 判断，那么 τ\tau 是一个 stopping time。

直觉上：不能偷看未来。

2.2 一个不是 stopping time 的例子

“随机游走最后一次访问原点的时间”通常不是 stopping time。

因为当你现在位于原点时，你无法知道以后会不会再次回来。要判断“这是最后一次”，必须查看未来。

所以它是随机时间，但不是 stopping time。

3. 应用与 Markov 性

3.1 赌徒破产

设赌徒资产为 XtX_t，每局赢 1 元或输 1 元，在 0 和 NN 处停止。

定义：

τ=inf⁡{t:Xt∈{0,N}}\tau=\inf\{t:X_t\in\{0,N\}\}

这就是一个 stopping time。

我们可以研究：

  • 先到 NN 的概率；
  • 先到 0 的概率；
  • 平均经过多少局结束。

这就是经典 Gambler’s Ruin 问题。

3.2 为什么 stopping time 很重要

很多现实决策本身就是“看到某种状态以后停止”：

  • 价格达到目标以后卖出；
  • 机器出现故障以后维修；
  • 检验统计量超过阈值以后停止实验；
  • 排队长度下降到 0 时结束忙期。

它们都不是固定时刻，而是由随机过程自己决定的随机时刻。

3.3 和 Markov 性的关系

对于 Markov process，到达某个状态以后，未来通常只需要从当前状态重新开始分析。

这产生了 strong Markov property（强马尔可夫性）：

不仅在固定时间点成立 Markov 性，在适当的 stopping time 处重新开始，未来仍然只依赖停止时的当前状态。

这使得 hitting time 分析特别方便。

4. 小结

Hitting time 把问题从“某个固定时间是什么状态”变成：

某个随机事件第一次什么时候发生？\boxed{\text{某个随机事件第一次什么时候发生？}}

Stopping time 则进一步要求：停止与否可以只根据当前及过去的信息决定。

这一类问题是随机游走、Markov chain、排队论、金融数学和随机控制中的基础工具。