随机游走发生在离散时间上：第一步、第二步、第三步……

如果把时间间隔越来越细、每一步空间位移也越来越小，会发生什么？

在合适的缩放下，离散随机游走会趋向随机过程里最重要的连续模型之一：Brownian motion（布朗运动），也叫 Wiener process。

1. 布朗运动的定义

1.1 从随机游走开始

简单随机游走满足：

Sn=ϵ1+⋯+ϵnS_n=\epsilon_1+\cdots+\epsilon_n

其中 ϵi\epsilon_i 独立且以相同概率取 ±1\pm1。

中心极限定理告诉我们：

Snn⇒N(0,1)\frac{S_n}{\sqrt n}\Rightarrow N(0,1)

也就是说，时间尺度增加 nn 倍时，空间尺度应该除以 n\sqrt n。

这已经暗示了布朗运动的 scaling law。

1.2 Brownian motion 的定义

标准 Brownian motion {Bt}t≥0\{B_t\}_{t\ge0} 满足：

  1. B0=0B_0=0；
  2. 具有独立增量；
  3. 对 0≤s<t0\le s<t：
Bt−Bs∼N(0,t−s)(1)\boxed{B_t-B_s\sim N(0,t-s)} \tag{1}
  1. sample path 几乎必然连续。

这四条性质几乎完整刻画了标准 Brownian motion。

1.3 为什么方差是 t−st-s

由式 (1)，长度为 Δt\Delta t 的时间区间中，位移标准差为：

Δt\sqrt{\Delta t}

所以布朗运动仍然保留随机游走的 t\sqrt t 扩散尺度。

平均位移为 0，但波动范围随着时间按平方根增加。

2. 路径与增量性质

2.1 连续但不可导

Brownian motion 最反直觉的性质之一是：

sample path 连续，但几乎处处不可导。

它不会像跳跃过程那样突然断开，却在任意小时间尺度上都充满剧烈波动。

因此普通速度：

lim⁡Δt→0Bt+Δt−BtΔt\lim_{\Delta t\to0}\frac{B_{t+\Delta t}-B_t}{\Delta t}

通常不存在。

这也是为什么 stochastic calculus 不能简单照搬普通微积分。

2.2 Independent increments 和 stationary increments

Brownian motion 具有独立增量。

不重叠区间上的变化彼此独立。

它也具有平稳增量，因为 Bt+h−Bt∼N(0,h)B_{t+h}-B_t\sim N(0,h)，只依赖时间长度 hh。

注意：Brownian motion 本身不是 stationary process，因为 Var⁡(Bt)=t\operatorname{Var}(B_t)=t 随时间增长。

2.3 Scaling property

Brownian motion 满足一个非常漂亮的缩放性质：

{Bct}=d{c Bt}\{B_{ct}\}\overset{d}{=}\{\sqrt c\,B_t\}

也就是说，时间放大 cc 倍，相当于空间放大 c\sqrt c 倍。

这正是随机游走 n\sqrt n 尺度的连续版本。

3. 连续极限与扩散

3.1 从 random walk 到 Brownian motion

不仅终点 Sn/nS_n/\sqrt n 会趋向 Gaussian。

如果把整条随机游走轨迹进行时间和空间缩放，那么整个过程会趋向 Brownian motion。

这就是函数型中心极限定理，也常用 Donsker 定理表述。

因此 Brownian motion 可以理解为：

大量微小独立随机扰动连续累积后的极限过程\boxed{\text{大量微小独立随机扰动连续累积后的极限过程}}

3.2 Brownian motion 与扩散

Brownian motion 最初来自对微粒随机运动的描述。

大量微观碰撞方向不可预测，但宏观上可以形成稳定的扩散规律。

概率密度满足的方程与热方程密切相关：

∂p∂t=12∂2p∂x2\frac{\partial p}{\partial t} = \frac12 \frac{\partial^2 p}{\partial x^2}

这建立了随机过程与偏微分方程之间非常深的联系。

4. 与其他过程的联系

4.1 Brownian motion 也是 Gaussian process

对于任意有限多个时间点 t1,…,tnt_1,\dots,t_n，随机向量：

(Bt1,…,Btn)(B_{t_1},\dots,B_{t_n})

服从多元 Gaussian 分布。

因此 Brownian motion 也是一个 Gaussian process。

它的协方差函数为：

Cov⁡(Bs,Bt)=min⁡(s,t)\operatorname{Cov}(B_s,B_t)=\min(s,t)

4.2 为什么它如此重要

Brownian motion 是很多连续随机模型的基础噪声。

之后的随机微分方程通常写成：

dXt=μ(Xt,t) dt+σ(Xt,t) dBtdX_t=\mu(X_t,t)\,dt+\sigma(X_t,t)\,dB_t

其中 dBtdB_t 就来自 Brownian motion。

它广泛用于：

  • 扩散；
  • 金融数学；
  • 统计物理；
  • 随机控制；
  • SDE；
  • Bayesian stochastic modeling。

5. 小结

Brownian motion 是从离散随机游走进入连续随机过程的桥梁。

它同时连接了：

Random Walk→CLT→Brownian Motion→SDE\text{Random Walk} \rightarrow \text{CLT} \rightarrow \text{Brownian Motion} \rightarrow \text{SDE}

从这里开始，随机过程真正进入连续时间动力系统。